Dnes jsem měl dozor u městského kola matematické olympiády. Pokud vás zajímá, co řeší děti z 8. a 9. tříd, máte možnost (sám jsem spočítal všechno, ale musím přiznat, že v druhém příkladě jsem využil brutální výpočetní sílu místo hledání elegantního řešení).

1. Bára si napsala dvě různá celá čísla. Potom je (ve stejném pořadí) sečetla, odečetla, vynásobila a vydělila. Dostala čtyři výsledky, jejichž součet byl -100. Když vynechala výsledek sčítání a sečetla zbývající tři výsledky, dostala také součet -100. Jaká čísla mohla Bára původně napsat?

2. Z krychliček o straně 1 cm jsme postavili kvádr. Kdybychom z kvádru odebrali jeden sloupec, zbytek stavby by se skládal z 602 krychliček. Pokud bychom místo toho odebrali jeden řádek horní vrstvy, zůstala by nám stavba z 605 krychliček. Jaké má kvádr rozměry?

3. Je dán čtverec ABCD o straně délky a a úsečka KL délky 5a tak, že A = K a strana AB leží na úsečce KL. Čtverec ABCD se "kutálením" (otáčením kolem pravého dolního rohu čtverce o 90°) pohybuje po úsečce KL tak dlouho, než strana AB opět splyne s částí úsečky KL (B = L). Narýsujte, jak se bude pohybovat bod S, který je středem strany AB. Určete délku křivky, kterou bod S při pohybu opsal.

4. Severských závodů psích spřežení se zúčastnilo dohromady celkem 315 dvojspřeží a trojspřeží. Do cíle dorazilo ve stanoveném limitu 60 % všech dvojspřeží a 1/3 všech trojspřeží, takže do cíle dorazila včas přesně polovina všech psů. Kolik dvojspřeží a trojspřeží závodilo?