Kolik překvapení se skrývá v nekonečnu! Debatoval jsem nedávno na tohle téma s kolegou Zdeeckem a vzpomněl si na paradox Hilbertova hotelu. Hotel nese jméno po německém matematikovi a autorovi paradoxu Davidu Hilbertovi (1862-1943), ale pro naše potřeby ho klidně můžeme přejmenovat na hotel Nekonečno.

Běžné hotely mají konečný počet pokojů (předpokládejme pouze jednolůžkové), do kterých se vejde jen konečný počet hostů. Hotel Nekonečno má však nekonečně mnoho pokojů, v nichž se může ubytovat nekonečný počet návštěvníků. Pokud je v běžném hotelu plno, máte zkrátka smůlu – tedy za předpokladu, že kvůli vám někoho nevyhodí na ulici nebo nenajdete dost drzosti, abyste se přisrali na cizí pokoj s přistýlkou, ale to se v lepších hotelech nestává. Pokud je plně obsazen hotel Nekonečno, nic se neděje. Stačí požádat hosta z pokoje číslo 1, aby se přesunul do pokoje číslo 2, host ze dvojky se přestěhuje na trojku, z trojky na čtverku atd. Pro vás se uvolní pokoj číslo 1 a přitom bude mít každý i nadále pokoj jen pro sebe.

Ale co když nepřijede jen jeden host, ale rovnou zájezd s nekonečně mnoha účastníky? Pak stačí hosta z jedničky přestěhovat na dvojku, hosta z pokoje číslo 2 na pokoj číslo 4, z čísla 3 na číslo 6 atd. Vašemu zájezdu pak budou k dispozici všechny pokoje s lichými čísly, jichž je samozřejmě nekonečně. Nastat ovšem může i situace, že místo jednoho nekonečně velkého zájezdu přijede nekonečně mnoho nekonečně obsazených zájezdů. V tom případě recepční popsaným způsobem uvolní liché pokoje a účastníky zájezdů ubytuje podle následujícího klíče: z prvního zájezdu budou bydlet v pokojích s číslem 3ⁿ, kde n = 1, 2, 3, ..., z druhého v pokojích s číslem 5ⁿ a x-tého v pokojích s číslem yⁿ, kde y je (x + 1)-té prvočíslo v řadě.

Otázkou je, zda se jedná pouze o matematickou hříčku, nebo zda nám paradox hotelu Nekonečno sděluje něco hlubšího. Nehodlám tu rozebírat ontologický status matematiky – matematici mají, alespoň jak se mi jeví, sklony ke krajnímu realismu, zatímco filozofové spíše k nominalismu. Sám bych svou pozici označil za umírněný realismus: matematika je součástí tohoto světa, takže i kdyby vypovídala pouze sama o sobě, současně vypovídá i o něm. Poselství hotelu Nekonečno si vykládám asi tak, že v aktu do mrtě plné nekonečno je současně v potenci nekonečně prázdné, a tudíž neomezeně naplnitelné. V nekonečnu zkrátka splývá plnost a prázdnota, ba co víc, nekonečno je s nimi totožné, neboť nekonečná plnost je stejně bez hranic jako nekonečná prázdnota. A co na to Starý Mistr?

Nejvyšší plnost se jeví jako prázdnota,

její působení však jest bez vyčerpání.

(Tao te ťing, kap. 45)